Episode-003：数式レベルの証明[オロイドの特徴]
了解。
ここからは直感ではなく、数式と幾何で押し切る版ね。
（完全な論文レベルではないけど、「なぜ必然か」は逃げられないところまで行く）
命題
オロイドは転がり運動により、その全表面が必ず一度は接地する
0️⃣ 前提定義（重要）
半径 (R) の円 (C_1, C_2) を考える。
- (C_1)：(xy) 平面、中心 ((R,0,0))
- (C_2)：(yz) 平面、中心 ((0,R,0))
両円は
- 半径が等しい
- 互いに直交
- 各円の中心が、もう一方の円周上にある
1️⃣ オロイド表面の厳密定義
オロイドの表面 (S) は次で定義される：
2円 (C_1, C_2) に同時に接する全ての直線の包絡面
数式的には
直線 (l) が存在して
[
\text{dist}(l, C_1) = R,\quad \text{dist}(l, C_2) = R
]
を満たすとき、その直線上の点全体が (S)。
👉 表面 = 接線族の集合
これは普通の「曲面」ではなく、
可展面（developable surface）。
2️⃣ 接地条件の数学的表現
床を平面
[
\Pi : z = 0
]
とする。
剛体運動（回転＋並進）
[
g(t) \in SE(3)
]
によってオロイドを転がす。
接地条件とは：
- 平面 (\Pi) が
- オロイド表面 (S) に接する
- しかも内部と交差しない
つまり
[
\Pi \text{ は } g(t)(S) \text{ の支持平面}
]
3️⃣ 球との決定的分岐点（数式）
球の場合
支持平面の法線方向は常に
[
\mathbf{n} = (0,0,1)
]
接触点は
[
p(t) = g(t)(p_0)
]
だが、球では
[
p_0 \in S^2 \Rightarrow \text{全点が同型}
]
👉 群作用が推移的
👉 接触履歴は消える
オロイドの場合（ここが核心）
オロイドの支持平面は
必ず表面を生成する「接線」そのもの。
つまり
[
\Pi \equiv g(t)(l)
]
となる接線 (l) が存在。
4️⃣ 「全表面が接地する」ことの数学的意味
示すべきは：
任意の表面点 (p \in S) に対し
ある時刻 (t) が存在して
[
g(t)(p) \in \Pi
]
5️⃣ 証明の核：接線族の全走査
表面点 (p) は必ず
ある接線 (l_p) 上にある（定義より）。
転がり運動では：
- 支持平面 (\Pi) は常に
オロイドの接線のいずれかと一致 - 回転運動は
接線方向パラメータ (\theta) を
単調に進める - 対称性が低いため
[
\theta(t) \neq \theta(t + T)
]
を満たす有限周期 (T) が存在しない
結果：
[
{\theta(t) \mid t \ge 0} = [0, 2\pi)
]
👉 全接線を網羅
6️⃣ したがって（結論）
- 任意の接線 (l_p) は
ある時刻 (t) で支持平面になる - 任意の点 (p \in l_p) は
その瞬間に床に接する
[
\forall p \in S,\quad \exists t : g(t)(p) \in \Pi
]
✔ 証明完了
7️⃣ なぜ球ではこの証明が成立しないか
球では：
- 表面 ≠ 接線の集合
- 支持平面は常に法線方向一定
- 群作用が推移的
→ 接線走査が起きない
超要約（数式的に一文）
オロイドは「表面＝接線族」かつ
転がり運動がその接線族を全走査するため、
全表面が必然的に接地する
もし次いくなら
- 微分幾何（ガウス曲率0の意味）
- 可積分系／非可積分系としての比較
- なぜ「ほぼカオス」に見えるか
どこまで深掘る？
