いいね、そこ行くのは相当マニアックだ👍
結論から言うと——

球とオロイドは、
見た目が似ていても
「位相的に注目すべき対象」がまったく違う

ポイントは
「位相を見る対象が“表面そのもの”か、“運動＋接触の空間”か」。

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① 表面だけを見た位相（まず肩透かし）

まず誤解を潰すね。

球

[
S^2
]

オロイド

• 自己交差なし
• 閉じた2次元多様体
• 穴なし

👉 位相的には球と同相

[
S_{\text{oloid}} \simeq S^2
]

つまり
「表面だけ」見れば差はゼロ。

ここで止まると
「何が違うの？」ってなる。

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② 本当の違いは「接触構造の位相」

決定的なのはここ👇

接触多様体（contact manifold）

「床と接する状態」を
位相空間として見る。

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球の場合

接触状態は：

• 接触点 (p \in S^2)
• 法線方向は一意

でも球では
どの点も等価。

👉 接触状態空間は

[
\mathcal{C}_{\text{sphere}} \simeq S^2
]

単連結・縮約可能。

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オロイドの場合（本題）

接触は：

• 接触点ではなく線
• 各接線には向きがある
• 接線は2円のどちらかに属する

接触状態は：

[
\mathcal{C}_{\text{oloid}} \simeq S^1 \times [0,1]
]

（円周パラメータ × 接線位置）

👉 円筒型の位相

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③ 位相的不変量の差

球

• 基本群
  [
  \pi_1 = 0
  ]

オロイドの接触空間

• 基本群
  [
  \pi_1 = \mathbb{Z}
  ]

👉 非自明ループが存在

これが意味すること：

• 接触状態を一周すると
• 元の姿勢に戻らない

＝ 非周期運動

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④ 転がり運動＝位相的流れ

転がりは
[
\gamma(t) : \mathbb{R} \to \mathcal{C}
]

球

• (\gamma(t)) は閉曲線
• 周期軌道

オロイド

• (\gamma(t)) は
  円筒を螺旋状に走る
• 閉じない

👉 必ず全断面を横断

＝ 全表面接地

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⑤ 一文で言う位相的差

• 球：
  接触状態空間が単連結 → 運動は循環
• オロイド：
  接触状態空間に穴 → 運動は漂流

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⑥ 超重要な勘違い防止

「オロイドは球と位相的に違う」

❌ 表面だけ見れば間違い
⭕ 接触＋運動を含めた位相なら正解

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最終まとめ

観点	球	オロイド
表面位相	(S^2)	(S^2)
接触空間	単連結	円筒型
基本群	0	(\mathbb{Z})
運動	周期	非周期
結果	一部しか接地しない	全表面接地

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ここまで来たら次は

• 接触幾何（contact geometry）
• 可積分系 vs 非可積分系
• なぜ人間は球を「安定」と感じるか（認知の位相）

どれ行く？